伽玛函数

阶乘

对于任意自然数，\(0,1,2,...,n\)的阶乘的定义为 \(n! = 1\times 2 \times 3 ... \times n\)

但是\(0.5!\)怎么计算呢？

伽玛函数

1728年，哥德巴赫在考虑数值插值问题时提出的，如何将自然数的阶乘推广到实数集。 将数据点\((n,n!)\)画在图形上，好像可以看出大致的趋势，但是无法从数学的角度严 格证明。于是请教同时期的伯努利兄弟。由于欧拉当时还是丹尼尔伯努利的助手。 因此欧拉也得知这个问题，第二年，即1729年，欧拉给出了完美的数据公式， 从此完成了阶乘向实数集的拓展，此时欧拉大神22岁。

1730年欧拉定义

\[ \Gamma(x) = \displaystyle \int^{1}_{0}( -log(t))^{x-1}dt \]

令 \(t=e^{-u}\),由于\(t \in (0,1)\)，所以\(u \in (0,\infty)\) \[ \Gamma(x) = \displaystyle \int^{\infty}_{0}u^{x-1}e^{-u}du \] 令\(u=x, x=s\)，则得到了伽玛函数的一般形式。 \[\begin{equation} \Gamma(s) = \displaystyle \int^{+\infty}_{0}{x^{s-1}e^{-x}dx} \end{equation}\]

证明过程需要使用分部积分法

\[\begin{equation} \begin{aligned} \Gamma(s+1) &= \displaystyle \int^{+\infty}_{0}{x^{s}e^{-x}dx} \\ &= -\displaystyle \int^{\infty}_{0}{x^{s}d(e^{-x})} \\ &= -((x^s e^{-x}|_{0}^{\infty}) - (\displaystyle \int^{\infty}_{0}e^{-x}d(-x^s))) \\ &= -((x^s e^{-x}|_{0}^{\infty}) - \displaystyle \int^{\infty}_{0}s x^{s-1}e^{-x}dx) \\ &= s\Gamma(s) \end{aligned} \end{equation}\]

\[ \Gamma(1) = \displaystyle \int^{\infty}_{0}e^{-x}dx = 1 \] 规定\(0!=1\) 由上面的证明可知，伽玛函数具有递归性质，可以用来进行阶乘的计算。 则\(\Gamma(n+1)=n!\)，因此对于任意的数都可以进行阶乘计算。 回到上面的\(0.5!\)的计算。

\(0.5!=\Gamma(0.5+1)=\displaystyle \int^{+\infty}_{0}{x^{0.5}e^{-x}dx}=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\)

伽玛分布

因为伽玛函数的一般表达式为\(\Gamma(\alpha) = \displaystyle \int^{+\infty}_{0}{x^{\alpha-1}e^{-x}dx}\) 等式两边同时除以\(\Gamma(\alpha)\),则得

\(1=\displaystyle \int^{+\infty}_{0}\frac{x^{\alpha-1}e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}d(x)\)

令 \(x=\lambda x\)，代入上式， 则上式如下： \[\begin{equation} \begin{aligned} 1 &= \displaystyle \int^{+\infty}_{0}\frac{x^{\alpha-1}e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}d(x) \\ &= \displaystyle \int^{+\infty}_{0}\frac{(\lambda x)^{\alpha-1}e^{-(\lambda x)}}{\Gamma(\alpha)}d(\lambda x) \\ &= \displaystyle \int^{+\infty}_{0}\frac{(\lambda x)^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} \cdot \lambda d(x) \\ &= \displaystyle \int^{+\infty}_{0}\frac{\lambda^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}d(x) \\ \end{aligned} \end{equation}\]

取上式中的的被积函数作为伽马分布的密度函数

\[\begin{equation} \begin{aligned} p(x) &= \frac{\lambda^\alpha x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)} \\ &= \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} \end{aligned} \end{equation}\]

伽玛分布的期望和方差

期望的证明

\[\begin{equation} \begin{aligned} E(x) &= \sum p(x_i)\cdot x_i \\ &= \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \displaystyle \int^{+\infty}_{0} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} d(x) \end{aligned} \end{equation}\]

因为 \(\Gamma(\alpha+1) = \displaystyle \int^{+\infty}_{0} x^{\alpha}e^{-\lambda x}\),

令\(x=\lambda x\),则\(\Gamma(\alpha+1)\) \[\begin{equation} \begin{aligned} \Gamma(\alpha+1) &= \displaystyle \int^{+\infty}_{0} \lambda^\alpha x^{\alpha}e^{-\lambda x} d(\lambda x)d(x) \\ &=\lambda \displaystyle \int^{+\infty}_{0} \lambda^\alpha x^{\alpha}e^{-\lambda x} d(x) \end{aligned} \end{equation}\]

所以 \[\begin{equation} \begin{aligned} E(x) &= \frac{\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\lambda}}{\Gamma(x)} \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{1}{\lambda} \\ &= \frac{\alpha}{\lambda} \end{aligned} \end{equation}\]

方差的证明

因为\(p(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^(\alpha-1)e^{-\lambda x}\), 所以对于离散型随机变量，\(E(x^2) = p(x)\cdot x^2\) 对于连续型随机变量，二阶原点矩如下： \[\begin{equation} \begin{aligned} E(x^2) &= \displaystyle \int^{+\infty}_{0} x^2 \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}d(x) \\ &= \displaystyle \int^{+\infty}_{0}\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha+1}e^{-\lambda x}d(x) \end{aligned} \end{equation}\]

因为\(\Gamma(\alpha+1)=\lambda \displaystyle \int^{+\infty}_{0} \lambda^\alpha x^{\alpha}e^{-\lambda x}d(x)\)

\[\begin{equation} \begin{aligned} \Gamma(\alpha+2) &= \lambda \displaystyle \int^{+\infty}_{0} \lambda^{\alpha+1} x^{\alpha+1}e^{-\lambda x}d(x) \\ &= \lambda^2 \displaystyle \int^{+\infty}_{0} \lambda^\alpha x^{\alpha+1}e^{-\lambda x}d(x) \end{aligned} \end{equation}\]

由上式可知\(\displaystyle \int^{+\infty}_{0} \lambda^\alpha x^{\alpha+1}e^{-\lambda x} d(x) = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\lambda^2}\) \[\begin{equation} \begin{aligned} E(x^2) &= \frac{\displaystyle \int^{+\infty}_{0}\lambda^\alpha x^{\alpha+1}e^{-\lambda x}d(x)}{\Gamma(\alpha)} \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\lambda^2\Gamma(\alpha)} \\ &= \frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2} \end{aligned} \end{equation}\]

根据方差的性质\(Var(x) = E(x^2) - E(x)^2\)

所以伽玛分布的方差为： \[\begin{equation} \begin{aligned} Var(x) &= \frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2} - {(\frac{\alpha}{\lambda})}^2 \\ &= \frac{\alpha}{\lambda^2} \end{aligned} \end{equation}\]